蔚蓝学习法

第17章 考试技巧之——数学考试技巧

　　一场数学考试过后，蔚晓蓝找到武旭，希望他能传授给自己些考场上的技巧。 　　蔚晓蓝对武旭说：“武旭啊，数学在考场上有什么技巧吗？” 　　武旭说：“想必我们都知道中高考数学试卷的分值分布，因为我们最终的目的是取得一个满意的分数，有所侧重会使你的考试分数提高，而且是在毫不费力的情况下，只是在做题前有所侧重就好。先来看选择题，一般一共12道题，每题5分，共计60分。选择题可以说是最灵活的题型，如果你想考到130分左右，选择题最多只能错一个，而且必须在40分钟内做完。” 　　蔚晓蓝接话说：“那么，怎么做选择题呢？” 　　武旭说：“按照传统的观念，必须按照规则从头到尾写清楚计算过程，然后得出答案，但是我问了很多学霸，几乎没有每道题都计算的，学霸们更倾向于从四个选项中‘挑选’正确答案，选择题从不展开运算，也就是说，小题不大做，他们一般不会采用常规方法达到目的，他们只要达到得分的目的即可。” 　　第一种方法:特殊值法。用特殊值，或特殊图形、特殊位置代替题设的普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而得出正确选择。一般情况下，特殊数值用0、 1，特殊数列使用常数列，特殊函数使用对勾函数f(x)=ax+bx(ab＞0)(对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，渐近线是x=y)。 　　特殊图形:正三角形、正方形特殊角: 180°、 90°、 60°。特殊对称:中心对称、轴对称等。 　　第二种方法:排除法。数学选择题的解题本质不是通过计算得结论，而是去伪存真，就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论。排除法就是通过观察分析或推理运算各备选项提供的信息，对于错误的选项逐一剔除，从而获得正确结论。 　　第三种方法:直觉法。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具创造力的成分，其实数学的真正本质就是逻辑，因此，作为选拔人才的命题人很自然要考虑对直觉思维的考查。 　　第四种方法:测量法。中、高考的试卷制图是十分标准的，因此考试时带一把标准的量角器和尺子，大胆去测量数值，然后进行预估，也会助你一臂之力。 　　第五种方法:始终用向量法做立体几何。对于基础差的学生，放弃辅助线的方法吧，精炼你的向量法，把时间全部用在向量法上会省去你思考的时间，从而节省时间去做其他题。无论如何，你只要得分就可以了，向量法把问题简单化，省去思考环节，直达中心。 　　第六种方法:根号估算法，考试前考生一定要牢记，根号2=1.414，根号3=1.732，根号5=2.236，然后不会做的选择题可以直接将数代入后估算从而得出相近的答案。 　　数学考试是很容易拉开分数的一门考试，考试前要告诉自己，没必要所有的题都做出最精准的答案，只做到大概准确即可，大约70%~80%。这样既可以节省时间，又可以给大脑减压。下面列举几道用上述方法得出答案的例题: 　　1.特殊值法 　　第一题(2018年高考全国Ⅰ卷选择题第二题):知集合 A={x|x²-x-2＞0}，则 RA=()。 　　A.{x|-1＜x＜2} 　　B.{x|-1≤x≤2} 　　C.{x|x＜-1}∪{x|x＞2} 　　D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 　　这道题很简单，但是我在这里抛砖引玉，让大家对这种运用特殊值的解题模式有一个整体上的认识。首先，答案肯定是有等于号的，因为题目集合没有等于号，所以其假子集有等于号，排除 A、C，剩 B、D，在 B、 D之中代入0， 0是符合题目要求的，所以选择答案 B。 　　第二题:已知等差数列{αn}的前n项和为Sn，等差数列{αn }的前n项和为Sn，若a2n/an=4n-1/2n-1，则S2n/Sn值为()。A.2 B.3 C.4 D.8 　　解：用特殊值法解题，取 n= 1，得 a 2/a 1=3，所以（a1+a2)/a1=4于是，当 n= 1时，s2n/Sn=s2/s1=（a1+a2）/a1 =4，因此选C。 　　第三题:(2018年高考全国Ⅰ卷填空题第一题):若x，y满足约束条件x-2y-2≤0、x-y+1≥0、y≤0，则z=3x+2y的最大值为？ 　　解:常规方法基本上就是作图找可行区域，然后结合目标函数z=3x+2y寻找最大值。其实换一种思考角度，目标函数的最大值肯定在范围内的三个交点上，也就是说，寻找到三个交点，代入目标函数找最大值就可以了，方程两两联立求交点:①x≤0①x-2y-2≤0②y≤0②x-y+1≥0③x-2y-2≤0③x-y+1≥0，两两联立得交点，解①得到x=2， y=0，解②得到x=1， y=0，解③得到x=-4， y=-3。显然，代入x=2， y=0到目标函数z=3x+2y，可以得到最大值，代入计算得到答案是6。牢记，小题不大做，节约小题时间去做其他题。 　　得到答案是6。牢记，小题不大做，节约小题时间去做其他题。 　　 2018年高考全国Ⅱ卷也有同样的题，大家可以自己使用这种方式去解题。x+2y-5≥0、x-2y+3≥0、x-5≤0，则目标函数z=x+y的最大值为多少？ 　　以上四道题只是具有一定的代表性，本书将不再过多介绍，希望考生在平时多做总结和积累，去体会这种快速得结果的思路或模式。 　　2.排除法: 　　第一题:方程ax²+2x+1=0，至少有一个负根的充要条件是()。 　　A.0＜a≤1 B.a＜1 C.a≤1 D.0＜a≤1或a＜0 　　传统方法△≥0，得到4-4a≥0因此a≤1。这道题很简单，可以直接算。我们再体验一下学霸用排除法做题:题目要求至少有一个负根，因此选项里面肯定有等于号，排除 B，在 A、 C、 D中选择， a=0得到方程ax²+2x+1=0是一条直线， x=-1/2，满足条件，有一个根，排除 A、 D，因此选择C，用这种方法基本上可以不用动笔直接得出答案。 　　第二题:已知函数f(x)=mx²+(m-3)x+1的图像与x轴的交点至少一个在原点右侧，则实数m的取值范围是()。 　　A.(0，1) B.(0，1] C.(-无穷，1) D.(-无穷，1] 　　常规法不再介绍，我们用省时间的特殊值法:根据备选项我们将特殊值m=1代入函数，则f(x)=x²-2x+1，化简得(x-1)²=0时， x=1符合条件，排除 A、 C，然后根据选项 B、D的差异，将m=0代入函数f(x)，则f(x)=-3x+1， X=1/3时符合，排除 B，选 D。 　　3.估算法 　　不必进行准确计算，只需对其数值特点和取值界限做出正确的判断。 　　第一题:若不等式组①x≤0、②y≥0、③y-x≤2表示平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过 A中的那部分区域的面积是()。 　　A.3/4 B.1 C.7/4 D.2 　　可以画图，然后从图可知，扫过的面积比1大，比2小，符合条件的只有选 C。 　　第二题:在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是边长为3的正方形，且EF平行 AB，EF=1.5，EF与平面 ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()。 　　 A.2/9 B.5 C.6 D.15/2 　　连接 BE与 CE，如图所示，则原多面体的体积为:四棱锥 E-ABCD的体积和三棱锥 E BCF的体积之和。而E-ABCD=1/3×9×2=6，由局部的体积小于整体的体积可知:原多面体的体积大于6，从备选答案上来看，只有选择 D。 　　在选择题的四个备选项中，若有三个备选项都含有同一个元素，而另一个备选项不含有这种元素，则称之为“三无一有元”。对有些极易发现“三无一有元”的选择题，可以单独验证这个元素，或通过估算来推断其真伪，从而排除干扰项，确定正确的选项。 　　第三题:设f(x)=lg2+x/(2-x)，则f(x/2)+f(2/x)的定义域为()。 　　A.(-4，0)∪(1，2) B.(-4，-1)∪(1，4) 　　C.(-2，-1)∪(1，2) D.(-4，-2)∪(2，4) 　　显然x=2是“三无一有元”，且此时代入函数f(x)的x/2与2/x都能使f(x)有意义，从而可选得 B。 　　第四题:已知过球面上 A、B、C三点的截面到球心的距离等于球第四题:已知过球面上 A、B、C三点的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2，则球面面积是()。A.16/9π B.8/3π C.4π D.64/9π 　　解:因为S球=4πR²，结合备选项，发现只需要估算球的半径R即可；设球半径R，△ABC的外接圆半径为r=(2倍的根号3)除以3，易知: R＞r，从而S球=4πR²≥4πr²≥16π/3＞5π显然只有 D才有这个可能，故应选 D。 　　采用估算法分析恰到好处，若是先求球的半径 R，再求其表面积，则必是小题大做。 　　4.直觉法 　　第一题:用长度分别为 2、3、4、5、6的5根细木棍围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到三角形的最大面积是()。 　　A.8×根号5 B.6×根号10 C.3×根号5 D.20 　　从我们的直觉中应该可以判断出组成6、 7 (2+5)、 7 (3+4)的等边三角形面积最大。 　　海伦公式大家可以上网查一下，可以计算在知道任意一个三角形三边长的前提下求出三角形面积，非常实用。 　　第二题:在△ABC中，cos∠A、cos∠B、cos∠C的最大值是()。 　　我们根据日常直觉和经验可以知道当∠A=∠B=∠C=60°时，其三者相我们根据日常直觉和经验可以知道当∠A=∠B=∠C=60°时，其三者相乘1/2×1/2×1/2=1/8为最大值。 　　第三题(2018年高考全国Ⅰ卷选择题第十二题):正方体所得截面面积的最大值为()。 　　当截得正六边形时，它所截得的面积最大，也就是说越接近圆形它的面积就越大。正六边形其中一边为 2分之根号2，且可以将其看作6个正三角形，面积为6乘以4分之根号3再乘以2分之根号2，等于4分之3倍的根号3。 　　5.猜题法 　　在这里教给考生几个时间来不及或者实在不会做的时候“蒙”题的方法，一般是最后一道选择题(压轴选择题)，这是从设置答案者的心理学角度入手，答案的设置其实也是有一定规律可循的。不可能100%正确，仅供参考。 　　第一种: 　　(1)从两个最像的里面选。 　　(2)选与另外两个最像的。 　　(3)选与其他最接近的。 　　(4)选与题干中数值对应的。 　　第一题(2018年高考全国Ⅰ卷):已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方形所得截面面积的最大值为()。 　　A.4分之3倍的根号3 B.3分之2倍的根号3 C.4分之3倍的根号2 D.2分之根号3 　　我们从答案入手，第一步，从两个最像的里面选，选出 A、 C，然后第二步是选与另外两个最像的， B与D当中分子都有根号3，因此选答案 A。 　　第二题(2018年高考全国Ⅰ卷):在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面 BB1C1C所成的角为30°，则长方体的体积为() 　　A.8 B.6倍的根号2 C.8倍的根号2 D.8倍的根号3 　　显然，从C与D中选或者从B与C中选。当从C与D中选时， B选项有根号2，因此选 C。当从 B与 C中选时，选项 D有8，因此也选 C。 　　第三题(2018年高考全国Ⅱ卷):在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= 3，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为()。 　　A.1/5 B.6分之根号5 C.5分之根号5 　　D.2分之根号2 　　B与C相似，排除 A与 D， A与 C接近，选 C。 　　第四题(2018年高考全国Ⅰ卷):已知双曲线1/3x²-y²=1，O为坐标原点，F为C的右交点，过 F的直线与 C的两条渐近线交于 M、N，若△OMN为直角三角形，则|MN|=()。 　　A.3/2 B.3 C.2倍的根号3 D.4 　　B与 D接近，都是整数，从 B、D里面选，而 A、C中都有 3，因此选B。 　　第二种:最大值与最小值的猜题方法。 　　第五题:设 ABCD是同一个半径为4的球面上的四点，△ABC为等边三角形且其面积为9倍的根号3，则三棱锥D-ABC的体积的最大值为() 　　A.12倍的根号3 B.18倍的根号3 C.24倍的根号3 D.54倍的根号3 　　首先，选项 D明显与其他三个选项数值差距较大，故排除。剩下的 A、B、C三个选项的公差是6倍的根号3，怎么选呢?一般会是中间的那个。 　　如果是最小值呢？ 　　第六题:已知圆(x-1)2+(y-1)2=2，点P在直线y=x+3上，线段AB为圆的直径，则PA→×PB→的最小值为()。 　　A.2 B.5/2 C.3 D.7/2 　　选项都相差1/2，这时我们选第二小的，选项 B (如果是让选最大值，我们选第二大的)。 　　第三种:向量模长的计算选择题猜题技巧。 　　向量模长的计算过程中，因为涉及开方、平方，也就是先平方再开方，所以在答案设置中，一般会有两个互为开平方运算的两个数，根据这两个互为开平方的数再选择开完方的数。 　　第七题:已知平面向量a，b夹角为60度，且向量a=(2，0)，|b|=七题:已知平面向量a，b夹角为60度，且向量a=(2，0)，|b|=1，则|a+2b|=()。 　　A.根号 3 B.2倍的根号 3 C. 4 D.12 　　|a+2b|一定是开完平方的数字。12的开平方是2倍的根号3，因此大概率选B。 　　第八题(2018年高考全国Ⅱ卷)。已知角a顶点为原点，始终与x轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1，a)、B (2，b)，且cos2a=2/3，则|a-b|=() 　　A.1/5 B.5分之根号5 C.5分之2倍的根号5 D.1 　　选项B是选项 A的开平方，猜 B。 　　按照这种出题人的思路，我们在解答体积、面积类的选择题时，体积一般是长、宽、高相乘，面积是长、宽相乘，因此在不会解答的前提下，体题大概率选择两个选项中相差三倍且小的那一个，面积题大概率选择两个选项中相差两倍且小的那一个。 　　再来给大家讲一道填空压轴题———三式模型。 　　第九题:定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(满足f(-x)+f(x)=cosx，又当x≤0时，f'(x)≥1/2成立，若f(t)≥f(π/2-t)+根号2/2cos(t+π/4)，则实数t的取值范围是多少？ 　　对于三式①f(t)、②f(π/2-t)、③2分之根号2cos(t+π/4)，求范围的运算，我们不用展开计算，直接用第三式不等式两个函数的变量f(t)、 f(π/2-t )中的t≥π/(2-t)即可，得到得到t≥π/4就是正确答案。 　　最后，再看看三角函数周期率的简便算法: 　　第十题:函数y=sin2x+3倍的根号3sin²x的最小正周期为()。 　　解答:当y=sin*wx或是y=cos*wx时，周期 T=2π/*w 　　解: sin2x的周期为 2π/(1×2)=π，3倍的根号3sin²x的周期为2π/1×2=π，则其整个式子y=sin²x+3倍的根号3sin²x的最小正周期为sin²x与3倍的根号3sin²x的周期最小公倍数π。 　　第十一题:函数f(x)=sin(2x-π/6)-5倍的根号2sin²x的最小正周期是? 　　解: sin(2x-π/6)的最小正周期为 2π/1×2=π，5倍的根号2sin²x的最小正周期为 2π/2×1=π，其整个式子f(x)=sin(2x-π/6)-5根号2sin²x的最小正周期为sin(2x-π/6)的最小正周期与5倍的根号2sin²x最小正周期的最小公倍数π。 　　上面总结的这些题型，只是为了抛砖引玉，其真正目的还是让广大考生认识到， 120分钟的时间， 150分的分值，并不是每一道题都需要经过烦琐的计算才可以得分的。通过日常的积累，我们的得分也能总结出一个公式，那就是“得分≥会做”，无论用什么方法，我们心中一定要明确，就是所有的考题绝对不是仅有一种解题方法，很多题是不需用烦琐的方法计算的，节省下来时间就好。不管用何种方法，只要尽量得分就可以了。同时在日常学习时要结合上一章的学习策略方法，你的成绩将会有所突破。